Question

已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且两条曲线都经过点.

（1）求这两条曲线的标准方程；

（2）已知点在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点 的坐标.

Answer

（1）,；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）可以先利用待定系数法可以先求抛物线方程，然后利用定义法或待定系数法求出双曲线方程;

（2）先利用三角形的面积是4，求出点p的纵坐标是，再利用点P在抛物线上，求出横坐标即可.

试题解析：（1）∵抛物线经过点，

∴，解得，

∴抛物线的标准方程为. 3分

∴抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为．

法一：∴ ，，

∴， ． 5分

∴．

∴双曲线的标准方程为. 8分

法二：，∵双曲线经过点，∴， 5分

解得 ，.

∴双曲线的标准方程为. 8分

（2）设点的坐标为，由题意得，

，∴， 11分

∵点在抛物线上，∴，∴点的坐标为或. 14分

考点：(1)双曲线的标准方程；(2)抛物线的标准方程.