Question

已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆 上，且直线与直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点为椭圆上除长轴端点外的任一点，直线，与椭圆的右准线分别交于点，．

①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在，求点的坐标；若不存在,说明理由；

②已知常数，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）①存在点的坐标为，②.

【解析】

试题分析：（1）利用题目条件建立关于a，b，c的方程组，解方程组即可；

（2）①对于存在性问题，可以先假设点存在，然后根据以及点P在椭圆上直线，与椭圆的右准线分别交于点，等相关条件建立方程，看看点E的横坐标是不是定值，如果是即为所求，如果不是也就说明了不存在；②利用向量的坐标运算，计算， ，进而求出的表达式，在利用函数知识求取值范围.

试题解析：（1）由题意得，，

， ∴，

由点在椭圆C上，则有：

， 2分

由以上两式可解得．

∴椭圆方程为． 4分

（2）①椭圆右准线的方程为． 5分

假设存在一个定点,使得．设点()．

直线的方程为，令，，∴点坐标为．

直线的方程为，令，，

∴点坐标为． 7分

若，则，∵ ，，

∴． 9分

∵点在椭圆上，∴，∴ ，代入上式，得 ，

∴，∴点的坐标为． 11分

②∵， ，

∴．

∵，，∴．

∴ ． 13分

设函数，定义域为，

当时，即时，在上单调递减，的取值范围为，

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，的取值范围为 ．

综上，当时，的取值范围为，

当时，的取值范围为． 16分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）向量的坐标运算；（3）函数的单调性求值域.