Question

如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，且，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上.

（1）求证：；

（2）若，求直线与所成角的 余弦值；

（3）若平面与平面所成的二面角为，求的值.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，求出向量，的坐标，代入数量积公式，验证其数量积与0的关系，即可得到结论．
（2）由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐标，代入向量夹角公式，即可求出直线PD与AB所成的角；
（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的方程，解方程即可得到的值．

试题解析：因为中点为点在平面内的射影，所以平面．过作的平行线交与点，则.

建立如图所示的空间直角坐标系 2分

（1）设，，则

,．

∴．

∵， ∴ . 6分

（2）由，得，于是

∵， 8分

∴，

∴直线PD与AB所成的角的余弦值为. 10分

（3）设平面PAB的法向量为，可得，

设平面PCD的法向量为，

由题意得，

∵∴令，得到， 12分

∴， 14分

∵平面与平面所成的二面角为，∴，解得，

即． 16分

考点：(1)直线与平面所成的角；(2)异面直线及其所成的角．