Question

已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（-1，0）。

（1）求双曲线方程；

（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值和线段AB的长。

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）因为双曲线的离心率为，所以，又左顶点为，所以，因此可解得， ，从而求得双曲线的标准方程：

（2）设，中点的坐标为，则

联立方程组：消去得关于的一元二次方程，在判别式大于零的条件下，由韦达定理可用含参数的表达式表示和，进而表示和，由于点到原点的距离为，可据此列方程解得的值；最后根据弦长公式求弦的长.

试题解析：

（1）依题意所以 ..2分

所以双曲线方程为 ..4分

（2）由得， .6分

∴，

又∵中点在直线上，所以可得中点坐标为（m,2m）,

代入得 .8分

|AB|=。 12分

考点：1、双曲线的标准方程；2、直线与双曲线的位置关系；2、弦长公式.