Question

已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范围

Answer

(1) b＝0(2)

【解析】

试题分析：(1)由，得：，根据题设可判定，从而解得；

(2)由（1）知：，由，所以，

因为函数在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点，所以的零点，得到函数解析式所剩唯一参数的取值范围，进而可求的取值范围.

试题解析：

(1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，

∴f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 3分

∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，

∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0，

∴b＝0. 6分

(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋ax2＋c，

∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.

∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝. 9分

又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，

∴应是f(x)的一个极大值点，因此应有x2＝>1，即a>.

∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>.

故f(2)的取值范围为. 13分

考点：导数在研究函数性质中的应用.