Question

设a为实数，函数f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间及极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x >0时，e^x >x²－2ax＋1

Answer

(1) (2)见解析

【解析】

试题分析：(1)首先求出的导数，解方程，进一步得到不等式与的解集，从而得到函数的单调区间和极值.

(2)欲证当a>ln2－1且x >0时，ex >x2－2ax＋1，

令

则只需证当时，

从而转化为利用导数求的最小值问题.

试题解析：【解析】
（1）由知

令得于是当变化时，的变化情况如下表：

－

0

+

单调递减

单调递增

故的单调递减区间是，间调递增区间是

在处取得极小值，极小值为 6分

（2）设，于是

由（1）知，当时，

最小值为

于是对任意的，都有，所以在内单调递增.

于是当时，对任意

都有

而，从而对任意，

即：故， 14分

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转论的思想.