Question

已知数列的相邻两项，是关于方程的两根，且.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）设函数，若对任意的都成立，求实数 的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由一元二次方程根与系数的关系可得数列的递推公式：，

设，易求得：，，

并注意到: ,可知数列是公比为的等比数列.

（2）由（1）的结果得数列的通项公式,于是: ,的拆项法,将数列的前项和化为两个等比数列的前和.

（3）由韦达定理：=

所以，采用分离变量法求将求实数 的取值范围问题，转变成求关于的函数的最值问题.

试题解析：（1）∵，∴，

∵，

∴，

∴是首项为，公比为的等比数列。

且 4分

（2）由（1）得=

8分（注：未分奇偶写也得8分）

（3）∵，

∴,∴,

∴.

∴当为奇数时，，

∴对任意的为奇数都成立，∴。 11分

∴当为偶数时，，

∴，

∴对任意的为偶数都成立，∴ 13分

综上所述，实数的取值范围为。 14分

考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、等比数列的前项和；3、等价转化的思想.