Question

设直线是曲线的一条切线，.

（1）求切点坐标及的值；

（2）当时，存在，求实数的取值范围.

Answer

（1）切点，或者切点，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先设切点，然后依题意计算出，由，计算出切点的横坐标，代入切线的方程，可得切点的纵坐标，最后再将切点的坐标代入曲线C的方程计算得的值；（2）结合（1）中求出的，确定，设，然后将存在使成立问题，转化为，进而求出，分、、三种情况讨论函数在上的单调性，确定，相应求解不等式，即可确定的取值范围.

试题解析：（1）设直线与曲线相切于点

∴,解得或

代入直线方程，得切点坐标为或

切点在曲线上，∴或

综上可知，切点，或者切点， 5分

（2）∵，∴，设，若存在使成立，则只要 7分

①当即时

，是增函数，不合题意 8分

②若即

令，得，∴在上是增函数

令，解得，∴在上是减函数

，,解得 10分

③若即，

令，解得

，∴在上是增函数

∴，不等式无解，∴不存在 12分

综上可得，实数的取值范围为 13分.

考点：1.导数的几何意义；2.函数的最值与导数；3.分类讨论的思想.