Question

已知点、，动点满足：，且

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆W： 的切线与轨迹相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过坐标原点.

Answer

（1）；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）针对点的位置：点在线段上、点在轴上且在线段外、点不在轴上进行分类确定点的轨迹，前两种只须简单的检验即可，当点不在轴上时，在中，应用余弦定理得，化简得到，再根据圆锥曲线的定义，可知动点在以为两焦点的椭圆上，由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程，最后综合各种情况写出所求轨迹的方程；（2）先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形，然后再证明直线斜率存在且不为0的情况，此时先设直线，设点，联立直线与轨迹的方程，消去得到，进而求出及，得到，利用直线与圆相切得到，代入式子中，即可得到，从而问题得证.

试题解析：（1）①当点在线段上时

不存在或，均不满足题目条件 1分

②当点在轴上且在线段外时，

，设

由可得∴∴ 3分

③当点不在轴上时，

在中，由余弦定理得

，即动点在以为两焦点的椭圆上

方程为：（）

综和①②③可知：动点的轨迹的方程为： 6分

（2）①当直线的斜率不存在时

∵直线与圆相切，故切线方程为或

切线方程与联立方程组

可求得为或为

则以为直径的圆的方程为，经过坐标原点

②当直线的斜率为零时

与①类似，

可求得以为直径的圆的方程为，经过坐标原点 10分

③当直线的斜率存在且不为零时设直线的方程为

由消去得

设，则

∴

∴①

∵直线和圆相切

∴圆心到直线的距离，整理得②

将②式代入①式，得，显然以为直径的圆经过坐标原点

综上可知，以为直径的圆经过坐标原点 14分.

考点：1.轨迹的求法；2.椭圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系；4.直线与圆锥曲线的综合问题.