Question

已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的所成角的正切值.

Answer

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.

试题解析：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.

由已知与平面几何知识得，

∴，∴，∴AF∥DE，

又

∥ 6分

（2）由（1）得四点共面，，设平面

，则

不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为

∴，设平面与平面的所成角为

∴所求角的正切值为 13分.

考点：1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.