Question

已知函数f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．

(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；

(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer

(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和；(2) ；(3)

【解析】

试题分析：(1)求导，令导数大于0得增区间令导数小于0得减区间。(2) 对于任意都有成立，转化为对于任意都有。求时可根据求导求单调性求最值，也可直接根据二次函数问题求其单调区间再求其最值。(3)先在曲线上任取一点，根据导数的几何意义求其过此点的切线的斜率，再用点斜式求切线方程。将代入直线方程。分析可知此方程应有3个不同的解。将上式命名新函数，用单调性求此函数的极值点可知一个极值应大于0，另一个极值应小于0.

试题解析：(1)当时，函数，

得． 1分

所以当时，，函数f(x)单调递增； 2分

当x＜1或x＞2时，，函数f(x)单调递减． 3分

所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．4分

(2)由，得， 5分

因为对于任意都有成立，

所以问题转化为对于任意都有． 6分

因为，其图象开口向下，对称轴为.

①当，即时，在上单调递减，

所以，

由，得，此时. 7分

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，

由，得，此时. 8分

综上可得，实数的取值范围为 ． 9分

(3)设点是函数图象上的切点，

则过点的切线的斜率， 10分

所以过点P的切线方程为， 11分

因为点在该切线上，

所以，

即.

若过点可作函数图象的三条不同切线，

则方程有三个不同的实数解． 12分

令，则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．

令，解得或.

因为，， 13分

所以必须，即.

所以实数的取值范围为 ． 14分

考点：1导数及导数的几何意义；2用导数分析函数的单调性；3用单调性求极值、最值。