Question

如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（1）证明：平面；

（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）用线面垂直证，用等腰三角形中线即为高线证即，根据线面垂直得判定定理即可得证。（2）由（1）知平面，则为与平面所成的角。因为为定值，所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值，过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。

试题解析：【解析】
方法一：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，
所以 1分
又，因此 2分
因为平面，平面，
所以 3分
而平面，平面，
所以平面 . 5分

（2）为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角 6分
在中，，

所以当最短时，即当时，最大 . 7分
此时， 因此
又，所以，
所以 8分

因为平面，平面，
所以平面平面
过作于，则平面，
过作于，连接，则为二面角的平面角， 10分
在中，

又是的中点，在中，

又 11分
在中，
即所求二面角的余弦值为。 13分

第二问：方法二

（2）由（1）可知两两垂直，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

设,则

（其中） 6分

面的法向量为

与平面所成最大角的正切值为 7分

的最大值为，

即在的最小值为，

函数对称轴，

所以，计算可得 9分

所以

设平面的一个法向量为，则

因此，取，则 11分

为平面的一个法向量. 12分

所以

所以，所求二面角的余弦值为 13分

考点：1线面垂直；2线面角；3二面角。