Question

已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

（3）设第（2）问中的与轴交于点，不同的两点在上，且满足,求的取值范围.

Answer

（1）；（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为。根据题意原点到直线的距离为，又因为可解得。（2）由题意知即点到直线，和到点的距离相等，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。（3）由的方程为知设，根据得出的关系，用两点间距离求，再用配方法求最值。

试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为，，

即 ， 1分

又由题意知：， 2分

椭圆的方程为. 3分

（2）

动点到定直线的距离等于它到定点的距离 5分

动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线， 6分

点的轨迹的方程为. 7分

（3）由（2）知：,设，

则， 8分

， 9分

由，左式可化简为：， 10分

，

当且仅当，即时取等号， 11分

又，

当，即时，， 13分

故的取值范围是. 14分

考点：1椭圆的标准方程；2抛物线的定义；3函数值域。