Question

已知定点A(－2,0)和B(2,0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.

（1）求曲线E的方程；

（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；

（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。

Answer

（1）x2－＝1(x＞0) ；（2）|PQ|min＝6;(3) a≤－1.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知P点轨迹为双曲线，由a，c求出b的值，则方程可求；

（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，和双曲线方程联立后求得判别式大于0，再由两根之和大于0，且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长，借助于k的范围求弦长的范围，当斜率不存在时直接求解；

（3）由题意，|CR|＝|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴，由|CR|＝－a＝－a

∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1，若直线PQ垂直于x轴，这时|PQ|＝6，|CR|＝2－a ∴a＝－1， 综上a≤－1.

试题解析：【解析】
（1）由双曲线的定义得：曲线E是以A， B为焦点的双曲线的右支，所以曲线E的方程为：x2－＝1(x＞0) 2分

（2）若直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ的方程为：y＝k(x－2)

由，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 3分

设p(x1，y1)，Q(x2，y2)，这里x1＞0，x2＞0

则： 得：k2＞3 6分

|PQ|＝|x1－x2|＝＝6＋＞6 6分

若直线PQ垂直于x轴，则直线PQ的方程为x＝2。 8分

这时P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，

综上：|PQ|min＝6 9分

（3）据题意得：|CR|＝|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴，

由|CR|＝－a＝－a 10分

∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1 12分

若直线PQ垂直于x轴，这时|PQ|＝6，|CR|＝2－a

∴a＝－1. 13分

综上a≤－1. 14分

考点：直线与圆锥曲线的关系．