Question

已知椭圆，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6，直线与椭圆相交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）结合椭圆的几何性质与正三角形的周长为6，易得，再由，可计算得到，最后写出椭圆的方程即可；（2）先设，联立直线与椭圆的方程，消去得到，从而得到及由二次方程的判别式求出，然后化简，最后由求出的取值范围即可.

试题解析：(1)依题意得因为为正三角形且周长为6

由图形可得 2分

故椭圆的方程为 4分

(2)由得 6分

由，可得

设

则 8分

10分

因为，所以

的取值范围是 12分.

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题.