Question

设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）函数单调增区间为，单调减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：(1)此类题目考查利用导数研究函数的单调性，解法是：求函数的导数，令导数大于零，解得单调增区间（注意函数的定义域），令导数小于零，解得单调减区间（注意定义域）；（2）先将不等式在恒成立问题转化为在恒成立问题，然后可用两种方法求出参数的范围，法一是：令，通过导数求出该函数的最小值，由这个最小值大于或等于0即可解出的取值范围（注意题中所给的）；法二是：先分离参数得，再令，只须求出该函数的最小值，从而，同时结合题中所给的范围可得参数的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域为 1分

2分

当时，，为增函数

当时，，为减函数

当时，，为增函数

所以，函数单调增区间为，单调减区间为 5分

（2）因为，

所以

即

法一：令 7分

所以

因为在时是增函数 8分

所以 9分

又因为，所以， 10分

所以在为增函数

要使恒成立，只需 11分

所以 12分

法二：因为，所以

6

令 7分

8分

因为，所以 9分

因此时，，那么在上为增函数 10分

所以

所以 12分．

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值；3.一元二次不等式的解法.