Question

已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求二面角的大小.

Answer

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)证明平面内的直线垂直平面内的两条相交直线，即可证明平面平面；(2) 为方便计算，不妨设，先以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面和平面的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.

试题解析：(1)底面，所以 2分

底面是正方形，所以 4分

所以平面又平面

所以平面平面 5分

（2）证明：点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设

由题意得，, 6分

，又

设平面的法向量为，则

，令，则， 8分

，

设平面的法向量为，则

，令，则 10分

设二面角的平面角为，则.

显然二面角的平面角为为钝角，所以

即二面角的大小为 12分.

考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在解决空间角中的应用.