Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1．直线与抛物线交于，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）当直线，的倾斜角之和为时，证明直线过定点.

Answer

（1）；（2）直线恒过定点，证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）设抛物线方程为，由抛物线的定义及即可求得的值；（2）先设点，，然后将直线方程与抛物线方程联立消去得，根据二次方程根与系数的关系表示出，设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则，进而根据正切的两角和公式可知，其中，，代入求得和的关系式，此时使有解的有无数组，把直线方程整理得，推断出直线过定点.

试题解析：（1）设抛物线方程为

由抛物线的定义知，又 2分

所以，所以抛物线的方程为 4分

（2）设，

联立，整理得（依题意）

， 6分

设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则

8分

其中，，代入上式整理得

所以即 10分

直线的方程为，整理得

所以直线过定点 12分.

考点：1.抛物线的定义与方程；2.直线与抛物线的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.