Question

定义在R上的函数同时满足以下条件：

①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

②是偶函数；

③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．

(1)求函数的解析式；

(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)<，求实数m的取值范围。

Answer

(1) f(x)＝x3 x＋3， (2) m>2e e3

【解析】

试题分析：(1)三个条件，三个未知数，本题就是通过条件列方程组解参数，第一个条件说的是单调性，实质是导数，即，3a＋2b＋c＝0；第二个条件是函数的奇偶性，利用恒成立即可，b＝0；第三个条件是导数几何意义，即， c＝ 1 ；因此 ；(2)存在型问题，转化为函数最值，首先进行变量分离，即m>xlnx x3＋x，然后求函数M(x)＝xlnx x3＋x在[1，e]上最小值，这又要利用导数研究函数M(x)在[1，e]上的单调性，分析得为M(x)在[1，e]上递减，所以M(x)最小值为M(e)＝2e e3于是有m>2e e3

试题解析：【解析】
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0 ①

由f′(x)是偶函数得：b＝0 ②

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝ 1 ③

由①②③得：a＝，b＝0，c＝ 1，即. 4分

(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx xlnx x3＋x 6分

设M(x)＝xlnx x3＋x，x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx 3x2＋2 8分

设H(x)＝lnx 3x2＋2，则H′(x)＝ 6x＝ 10分

∴M(x)在[1，e]上递减，

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤ 1<0，即M′(x)<0

∴M(x)≥M(e)＝2e e3

于是有m>2e e3为所求． 12分

考点：导数在函数中的应用