Question

如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；

（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）求动点轨迹方程的步骤，一是设动点坐标M(x, y)，二是列出动点满足的条件，三是化简，，四是去杂，x≠0；（2）涉及两个动点问题，往往是通过相关点法求对应轨迹方程，设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有，利用椭圆定义解出相关点法也叫转移法，即将未知转移到已知，用未知点坐标表示已知点坐标，是一种化归思想，（3）直线与椭圆位置关系，一般先分析其几何性，再用代数进行刻画.本题中的三角形可分解为两个同底三角形，底长都为，所以三角形面积最大值决定于高，即横坐标差的绝对值，这可结合韦达定理进行列式分析

试题解析：【解析】
（1）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则

又由AC⊥BD有，即，

∴x2+y2=1（x≠0）. （4分）

（2）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有

即，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.

要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故.

∴ 从而所求P的轨迹方程为. 9分

（3）易知l的斜率存在，设方程为联立9x2+y2=1，有

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则

令，则且

，

所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为． 12分

考点：直接法求轨迹方程，相关点法求轨迹方程，直线与椭圆位置关系