Question

已知椭圆Ｃ：的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为４的正三角形．

（1）求椭圆Ｃ的方程；

（2）过右焦点的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点，若，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆Ｃ：的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为４的正三角形，所以可得到两个关于的等式，从而求得相应的值.

（2）因为过右焦点的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点，若，所以点A,B的纵坐标.所以通过假设直线方程联立椭圆方程即可得到一个关于x（或y）的二次方程，在结合韦达定理即可求得k的值即可求得结论.

试题解析：(1)设椭圆C的方程为．

由题意得,所以椭圆C的方程为. 4分

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得(3＋4)y2＋12－36＝0.

设，焦点则根据，得(2－，－)＝2(－2，)，

由此得－＝2，

解方程得：,所以

代入－＝2，

得＝4，故＝，所以直线的方程为 12分

考点：1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.解方程的能力.4.向量的知识.