Question

如图，已知三棱锥的侧棱与底面垂直，,, M、N分别是的中点，点P在线段上，且,

（1）证明：无论取何值，总有.

（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）参考解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）通过建立坐标系，写出相应的点的坐标，表示出向量与向量.通过计算向量与向量的数量积，即可得到结论.

（2）当时，要求平面与平面所成锐二面角的余弦值，因为这两个平面的交线没画出来，所以用这两个平面的法向量的夹角的大小来表示. 平面的法向量较易表示，平面的法向量要通过待定系数法求得.由于求锐二面角，所以求法向量的夹角的余弦值取正的即可.

试题解析：以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则A1（0，0，2），B1（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），

，

（1）∵，∴.

∴无论取何值， . 5分

（2）时，, .

而面 ，设平面的法向量为，

则 ,

设为平面与平面ABC所成锐二面角，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是 12分

考点：1.空间坐标系的建立.2.向量证明线线垂直.3.通过法向量求二面角的大小.