Question

设函数．

（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；

（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

Answer

（1）（2）或

【解析】

试题分析：（1）先求导，因为为二次函数，所以对于任意实数，恒成立，即恒成立。所以此二次函数的图像应开口向上，判别式小于等于0。（2）分别解得函数的单调性和极值。画图分析可知要使只有一个根则应极大值小于0或极小值大于0.

试题解析：【解析】
(1) , 2分

因为,, 即 恒成立, 4分

所以 , 得，

即的最大值为 6分

(2) 因为 当时, ;当时, ;

当时, ; 8分

所以 当时,取极大值 ;

当时,取极小值 ; 10分

故当 或时, 方程仅有一个实根.

解得 或. 14分

考点：用导数研究函数的性质。