Question

已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求 的取值范围；

（3）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由截距式可得直线的方程，根据点到线的距离公式可得间的关系，又因为，解方程组可得的值。（2）由点关于直线的对称点问题可知直线和直线垂直，且的中点在直线上，由此可用表示出。再将点代入椭圆方程将用表示代入上式，根据椭圆方程可的的范围，从而可得出所求范围。（3）将直线和椭圆方程联立，消去得关于的一元二次方程，根据韦达定理可得根与系数的关系。根据题意可知，可根据斜率相乘等于列出方程，也可转化为向量数量积为0列出方程。

试题解析：(Ⅰ)因为,,所以 .

因为原点到直线:的距离,解得,.

故所求椭圆的方程为. 4分

(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为,

所以 解得 ,.

所以.

因为点在椭圆:上,所以.

因为, 所以.所以的取值范围为. 9分

(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知.

设,,的中点是,

则,.

所以. 所以.

即 . 又因为,

所以.

所以 14分

考点：1点到线的距离； 2椭圆方程；3点关于线的对称点；4转换思想。