Question

如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，，,，且满足.

（1）求证：平面侧面；

（2）求二面角的平面角的余弦值。

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）可证得面侧面（2）此问采用空间向量法较好。先建系，写出个点坐标，再给出各向量的坐标，分别求面和面的法向量。先求得两法向量所成角的余弦值，但两法向量所成的角和二面角相等或互补，观察可知此二面角为顿角，所以余弦值为负值。

试题解析：（1）证明： ，

又

4分

（2）由（Ⅰ）知，以点为坐标原点，以所在的直线分

别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

, , ,

又由线段上分别有一点，

满足，

所以E(1，2，0), F(0，1，1) 6分

面的一个法向量 8分

此时面的一个法向量为,则。

设所求二面角平面角为，观察可知为钝角，

则 。 12分

考点：1线面垂直、面面垂直；2空间向量法解立体几何。