Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin²13°＋cos²17°-sin13°cos17°；

②sin²15°＋cos²15°-sin15°cos15°；

③sin²18°＋cos²12°-sin18°cos12°；

④sin²(-18°)＋cos²48°-sin(-18°)cos48°；

⑤sin²(-25°)＋cos²55°-sin(-25°)cos55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．

证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 ，

即，化简可得结果.

试题解析：法一：(1)选择②式，计算如下：

4分

(2)三角恒等式为 6分

证明如下：

12分

法二：(1)同法一．

(2)三角恒等式为

证明如下：

.

考点：1.分析法和综合法；2.归纳推理．.