Question

在平面直角坐标系中，动点满足：点到定点与到轴的距离之差为.记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线交曲线于、两点，过点和原点的直线交直线于点，求证：直线平行于轴.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由点到定点与到轴的距离之差为可得，即，化简可得轨迹方程为；

（2）方法一：设，直线的方程为，联立 得，求出直线的方程为 点的坐标为利用斜率可得 直线平行于轴；

方法二：设的坐标为，则的方程为点的纵坐标为，

直线的方程为点的纵坐标为所以轴；当时，结论也成立，直线平行于轴得证.

.

试题解析：（1）依题意： 2分

4分

6分

注：或直接用定义求解.

（2）设，直线的方程为

由 得 8分

直线的方程为 点的坐标为 10分

直线平行于轴. 13分

方法二：设的坐标为，则的方程为

点的纵坐标为，

直线的方程为

点的纵坐标为.

轴；当时，结论也成立，

直线平行于轴.

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.轨迹方程；3.抛物线的标准方程.