Question

已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于．

（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；

（2）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)， 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）把代入E得轨迹方程，由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M，N两点的横坐标的和与积，由两点式写出直线MQ的方程，取y=0后求出x，结合根与系数关系可求得x=2，则得到直线MQ与x轴的交点是定点，并求出定点．.

试题解析：（1）由题知：

化简得： 2分

当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；

当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点； 6分

（2）设

依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，

代入整理得

，， 9分

又因为不重合，则

的方程为 令，

得

故直线过定点. 14分

解二：设

依题直线的斜率存在且不为零，可设:

代入整理得：

,， 9分

的方程为 令，

得

直线过定点 14分

考点：1.椭圆的简单性质；2.与直线有关的动点轨迹方程.