Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）和．

【解析】

试题分析：（1）由题设条件知关于a,b,c的方程组，由此能求出椭圆方程． 

（2）可以设直线方程（斜率不存在单独考虑），然后与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合题目条件建立方程即可求出直线方程.

试题解析：（1）设椭圆的方程为.

由已知可得 3分

解得，.

故椭圆的方程为． 6分

（2）由已知，若直线的斜率不存在，则过点的直线的方程为，

此时，显然不成立． 7分

若直线的斜率存在，则设直线的方程为．

则

整理得． 9分

由

．

设．

故，① ． ② 10分

因为，即．③

①②③联立解得． 13分

所以直线的方程为和． 14分

考点：(1)椭圆标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位置关系.