Question

已知函数, 在处取得极小值2．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）设函数， 若对于任意，总存在， 使得， 求实数 的取值范围．

Answer

（1）函数的解析式为 ；（2）时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 ；（3）a的取值范围是(-∞,-1］∪［ 3,+∞).

【解析】

试题分析：（1）根据函数在极值处导函数为0，极小值为2联立方程组即可求得m，n；（2）由（1）求得函数解析式，对函数求导且让导函数为0，即可求得极大值和极小值；（3）依题意只需即可，当时，函数有最小值-2 ，即对任意总存在，使得的最小值不大于-2 ；而 ，分、、三种情况讨论即可.

试题解析：（1）∵函数在处取得极小值2，∴ 1分

又 ∴

由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意 ∴，代入①式得m=4

∴ 2分

经检验，当时，函数在处取得极小值2

∴函数的解析式为 4分

（2）∵函数的定义域为且由（1）有

令，解得：

∴当x变化时，的变化情况如下表：

x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

—

0

+

0

—

减

极小值-2

增

极大值2

减

∴时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 8分

（3）依题意只需即可．

∵函数在时，；在时，且

∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：

∴当时，函数有最小值-2 10分

又对任意总存在，使得 ∴当时，的最小值不大于-2

又

①当时，的最小值为 ∴得；

②当时，的最小值为 ∴得；

③当时，的最小值为 ∴得或

又∵ ∴此时a不存在

综上所述，a的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞)． 13分

考点：导数的应用、函数思想、分类讨论思想.