Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点.

（1）求证：直线AB₁⊥平面A₁BD.

（2）求二面角A-A₁D-B正弦值的大小.

Answer

（1）证明过程详见试题解析；（2）二面角A-A1D-B正弦值为.

【解析】

试题分析：（1）建立如下图的空间坐标系，要证直线AB1⊥平面A1BD，只需证明

即可.（2）先求出平面A1AD的一个法向量，再用向量夹角公式求二面角A-A1D-B正弦值.

试题解析：(1)取BC中点O，连接AO,

∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，

∵直棱柱ABC-A1B1C1,∴平面ABC⊥平面BCC1B1且相交于BC,

∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点O1,则OO1∥BB1,∴OO1⊥BC.

以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A1(0,2,)A(0,0,),B1(1,2,0),C(-1,0,0),

∴

∴直线AB1⊥平面A1BD. 6分

(2)设平面A1AD的一个法向量为

n=(x,y,z).

∵

∴令z=1得n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.

由(1)知为平面A1BD的法向量.

∴

∴二面角A-A1D-B正弦值的大小为. 12分

考点：空间向量、直线与平面的位置关系.