Question

数列{a_n}(n∈N^﹡)中,a₁=0,当3a_n<n²时，a_n+1=n²,当3a_n>n²时，a_n+1=3a_n.求a₂，a₃，a₄，a₅,猜测数列的通项a_n并证明你的结论.

Answer

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【解析】

试题分析：先由递推公式分别求出的值，猜测数列的通项，再用数学归纳法证明即可.

试题解析：当时，，则，知，因为，由数列定义知.因为,由数列定义知.又因为,由定义知

4分

由此猜测:当n≥3时， 6分

下面用数学归纳法去证明:当n≥3时，3an>n2.当n=3时，由前面的讨论知结论成立.假设当n=k(k≥3)时，成立.则由数列定义知,从而.所以，即当n=k+1(k≥3)时，成立. 故当n≥3时，.而.因此. 11分

综上所述，当时，，，( n≥3) 13分

考点：推理与证明、数学归纳法.