Question

如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点，点A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求点P的坐标；

（3）设M是直角三角PAF的外接圆圆心，求椭圆C上的点到点M的距离的最小值．

Answer

（1）椭圆C的方程为；（2）点P的坐标；

（3）椭圆C上的点到点M的距离的最小值是．

【解析】

试题分析：(1)设椭圆方程为，把，代入即可解得，∴椭圆方程为；（2）设点P的坐标是,求出的坐标，根据和椭圆方程联立即可求出点P的坐标；（3）点M的坐标是，由两点之间的距离公式得，由于,∴当时，取得最小值.

试题解析：(1) (4分)

（2）由已知可得点，

设点P的坐标是,则，由已知得，则，解得或.

由于，只能，于是，∴点的坐标是 (9分 )

（3） 点M的坐标是， 椭圆上的点到点M的距离有

由于 (14分)

考点：椭圆的方程、最值的求法、函数与方程思想.