Question

已知函数

（1）求函数在点(0,f(0))处的切线方程；

（2）求函数单调递增区间；

（3）若∈[1，1]，使得（e是自然对数的底数），求实数的取值范围.

Answer

（1）函数在点处的切线方程为； （2）函数单调递增区间；

（3）实数a的取值范围是.

【解析】

试题分析：⑴ 先根据函数解析式求出，把代入求出斜率，进而求得切线方程；⑵ 因为当时，总有在上是增函数， 又，所以函数的单调增区间为；⑶ 要使成立，只需成立即可；再分和两种情况讨论即可.

试题解析：⑴ 因为函数，

所以，， 2分

又因为，所以函数在点处的切线方程为． 4分

⑵ 由⑴，．

因为当时，总有在上是增函数，

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为 8分

⑶ 因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可 9分

又因为，，的变化情况如下表所示：

减函数

极小值

增函数

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值

，的最大值为和中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在上是增函数．

而，故当时，，即；

当时，，即．

所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为 13分

考点：导数的几何意义、导数的应用、构造法的应用.