Question

某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

②求该容器的建造费用最小时的r.

Answer

①y＝4π(c－2)r2＋，0时，建造费用最小时，r＝ .

【解析】①设容器的容积为V，

由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，

∴l＝.

由于l≥2r，∴≥2r，∴03，

∴c－2>0.由y′＝0得r＝

若0< <2，即c>时，此时00.

∴r＝时，y取得极小值．

若 ≥2，即3时，建造费用最小时，r＝ .