Question

观察以下等式：

sin²30°＋cos²60°＋sin 30°·cos 60°＝，

sin²40°＋cos²70°＋sin 40°·cos 70°＝，

sin²15°＋cos²45°＋sin 15°·cos 45°＝.

…

写出反映一般规律的等式，并给予证明．

Answer

sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝

【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：

sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.

证明如下：

sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)

＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2

＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)

＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α

＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.