Question

设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：

V→R满足：

对任意向量a＝(x₁，y₁)∈V，b＝(x₂，y₂)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.

现给出如下映射：

①f₁：V→R，f₁(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；

②f₂：V→R，f₂(m)＝x²＋y，m＝(x，y)∈V；

③f₃：V→R，f₃(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.

分析映射①②③是否具有性质p.

Answer

①具有性质p②不具有性质p. ③具有性质p.

【解析】a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，

λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．

对于①，f1(m)＝x－y

∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]

＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．

λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)

f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．

∴①具有性质p.

对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，

λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，

f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，

而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．

又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立

故②不具有性质p.

对于③，f3(m)＝x＋y＋1，

f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1

＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，

又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)

＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)

＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1.

∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)

③具有性质p.