Question

已知函数f(x)＝x²－4，设曲线y＝f(x)在点(x_n，f(x_n))

处的切线与x轴的交点为(x_n＋1,0)(n∈N_＋)，其中x₁为正实数．

(1)用x_n表示x_n＋1；

(2)求证：对一切正整数n，x_n＋1≤x_n的充要条件是x₁≥2；

(3)若x₁＝4，记a_n＝lg ，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer

（1）xn＋1＝（2）见解析（3）xn＝

【解析】(1)由题意可得f′(x)＝2x，

所以过曲线上点(xn，f(xn))的切线方程为

y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，即y－(－4)＝2xn(x－xn)．

令y＝0，得－(－4)＝2xn(xn＋1－xn)．

即＋4＝2xnxn＋1.显然xn≠0，∴xn＋1＝.

(2) (必要性)若对一切正整数n，有xn＋1≤xn，则x2≤x1，

即≤x1，∴≥4.而x1>0，即有x1≥2.

(充分性)若x1≥2>0，由xn＋1＝，

用数学归纳法易得xn>0，从而xn＋1＝≥2＝2(n≥1)，

即xn≥2(n≥2)．又x1≥2，∴xn≥2(n≥1)．

于是xn＋1－xn＝－xn＝＝≤0. 

即xn＋1≤xn对一切正整数n成立．

(3) xn＋1＝，知xn＋1＋2＝，

同理，xn＋1－2＝.故＝()2.

从而lg＝2lg，即an＋1＝2an.所以，数列{an}成等比数列，

故an＝2n－1a1＝2n－1·lg ＝2n－1lg 3，

即lg ＝2n－1lg 3.从而＝32n－1，所以xn＝.