Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作直线交抛物线于，两点,求证: .

Answer

(1)(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)可利用待定系数法设抛物线方程为求解；

(2)因为是直线与圆锥曲线的相交问，可以设直线方程（斜率不存在时单独讨论），然后联立抛物线方程和直线方程运用韦达定理结合条件来求解.

试题解析：【解析】
(1)由题设抛物线的方程为：，

则点的坐标为，点的一个坐标为，2分

∵，∴，4分

∴，∴，∴.6分

(2)设、两点坐标分别为、，

法一：因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为

方程组得，

因为

所以

=0，

所以.

法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时

即有所以. 8分

当的斜率存在时，设的方程为

方程组得

所以10分

因为

所以

所以.

由①②得.12分

考点：1.抛物线的标准方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系.