Question

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) ；(2) 存在点,.

【解析】

试题分析：(1)可建立空间直角坐标系，利用向量线面角公式得

(2)可以先假设存在点D，然后利用向量的二面角公式计算.

试题解析：如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，

可得.

(1)所以，平面的一个法向量

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为. 6分

(2)假设存在满足条件的点，设AD=，

则，设平面的法向量，

因为,，

且

所以 所以平面的一个法向量

又因为平面的一个法向量

所以

解得，因为，此时,

所以存在点，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°. 12分

考点：1.向量求线面角问题；2.向量求二面角问题.