Question

在正方体中，分别的中点.

（1）求证：；

（2）已知是靠近的的四等分点，求证：.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）用普通方法不容易证且为正方体故选用空间向量法。先建立空间直角坐标系，设出正方体的边长得各点的坐标。用向量垂直证线线垂直，再根据线面垂直的定义证得线面垂直。（2）由（1）可知，用向量证得，即,再根据线面平行的判定定理证得线面平行。

试题解析：证明：如图所示，建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为.

∵分别的中点，

∴，，

，. 1分

（1）∵，∴. 2分

∵，，，

∴，. 3分

∵，

，

∴，. 5分

∵是平面上的两条相交直线，∴. 6分

（2）∵是靠近的的四等分点，∴. 7分

设，则，

∴，

∴. 9分

∴，∴，

∵，且不在平面内，∴. 12分

考点：空间向量法在立体几何中的应用。