Question

设椭圆的方程为 ，斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.

（1）问：直线与能否垂直？若能，之间满足什么关系；若不能，说明理由；

（2）已知为的中点，且点在椭圆上.若，求椭圆的离心率.

Answer

（1）直线与不能垂直；（2）

【解析】

试题分析：（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去整理为关于的一元二次方程，因为有两个交点则判别式应大于0，由韦达定理可得根与系数的关系，用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率，假设两直线垂直则斜率相乘等于，解出的关系式，根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.

∵，∴四边形OANB为矩形，∴，转化为向量问题，可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标，将其代入椭圆方程，与上式联立消去即可得之间满足的关系式。将代入之间的关系式，可求其离心率。

试题解析：解答：（1）∵斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，

∴可以设直线的方程为.

∵，∴，

∴. ① 1分

∵直线与椭圆相交于两点，∴

. ② 2分

且. ③ 3分

∵为线段的中点，∴,

∴，∴. 4分

假设直线与能垂直.

∵直线的斜率为1，∴直线的斜率为-1，

∴，∴. 5分

∵在椭圆方程中，，

∴假设不正确，在椭圆中直线与不能垂直. 6分

（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.

∵，∴四边形OANB为矩形，∴， 7分

∴，∴，∴，

∴，

∴，整理得. 8分

∵点在椭圆上，∴，∴. 9分

此时，满足，

消去得，即. 10分

设椭圆的离心率为e，则，∴，

∴，∴，

∴，∵，∴.

考点：1直线与椭圆的位置关系；2直线垂直时斜率的关系；3转化思想。