Question

如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点.

（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；

（ⅱ）求的最小值.

Answer

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．

【解析】

试题分析：（1）利用离心率可得，关系．由两个顶点距离可得，距离，由此结合可求得，的值，从而求得椭圆的标准方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况求解．当直线的斜率不存在时，情况特殊，易求解；当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程，然后结合韦达定理与，以及点到直线的距离公式求解；（3）在中，利用＝与，结合基本不等式求解．

试题解析：（1）由，得，

由顶点的距离为，得，

又由，解得，所以椭圆C的方程为．

（2）【解析】
（ⅰ）点到直线的距离为定值．

设,

① 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线：，

将代入，解得，

所以点到直线的距离为；

② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆：，

联立消去得，

，．

因为，所以，，

即，

所以，整理得，

所以点到直线的距离＝．

综上可知点到直线的距离为定值．

（ⅱ）在中，因为＝

又因为≤，所以≥，

所以≥，当时取等号，即的最小值是．

考点：1、椭圆的性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．