Question

已知圆，

（Ⅰ）若过定点()的直线与圆相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若过定点()且倾斜角为的直线与圆相交于两点，求线段的中点的坐标；

(Ⅲ) 问是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为,且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求过定点直线方程，要注意斜率不存在情况是否满足题意，本题可分类讨论，也可从设法上考虑斜率不存在，即设直线的方程为：，再利用圆心到直线距离等于半径即可求出直线方程，（Ⅱ）求圆中弦中点，一可利用几何条件，即圆心与弦中点连线与直线垂直，从而弦中点就为直线：与连线的交点，二可利用韦达定理，根据中点坐标公式求解，（Ⅲ）以为直径的圆经过原点，这一条件如何用，是解题的关键 一是利用向量垂直，二是利用圆系方程

试题解析：（Ⅰ）根据题意，设直线的方程为：

联立直线与圆的方程并整理得： 2分

所以

从而，直线的方程为： 4分

（Ⅱ）根据题意，设直线的方程为：

代入圆方程得：，显然， 6分

设则

所以点的坐标为 8分

（Ⅲ）假设存在这样的直线：

联立圆的方程并整理得：

当 9分

设则

所以 10分

因为以为直径的圆经过原点，所以

均满足。

所以直线的方程为：。 13分

（Ⅲ）法二：可以设圆系方程

则圆心坐标，圆心在直线上，且该圆过原点。易得b的值。

考点：直线与圆相切，弦中点，圆方程