Question

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角， 为底面圆周上一点．

（1）若的中点为，,求证平面；

（2）如果,,求此圆锥的全面积．

Answer

(1)详见解析；(2).

【解析】

试题分析：(1)要证平面,即证垂直于平面内的两条相交直线，是已知，转化为证平面,利用母线相等，利用底面半径相等，为中点，证得平面 ，证得，,得证；(2),求出底面半径，以及母线长，根据全面积公式，,求出全面积.

试题解析：【解析】
①连接OC，

∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB 2分

∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ

∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC

∵OH⊂平面SOC，∴BQ⊥OH， 5分

∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线，

∴OH⊥平面SBQ； 6分

②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，

可得AB==4 8分

∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，

∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2，

因此，圆锥的侧面积为S侧=π×2×2=4π 10分

∴此圆锥的全面积为S侧+S底=4π+π×22=（4+4）π 12分

考点：1.线面垂直的判定；2.线面垂直的性质；3.几何体的表面积.