Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有 成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）;（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)因为为奇函数，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的条件下，证明的单调性，在恒成立，即,根据单调性，可以求出其最大值；(3) 若函数在上是以3为上界的有界函数，则,将函数代入，反解,,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是的范围.

试题解析：【解析】
（1）因为函数为奇函数，

所以，即，

即，得，而当时不合题意，故． 4分

（2）由（1）得：，

下面证明函数在区间上单调递增，

证明略． 6分

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的值域为，

所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为． 8分

（3）由题意知，在上恒成立．

，．

在上恒成立．

10分

设，，，由得,

设，，

,

所以在上递减，在上递增， 12分

在上的最大值为，在上的最小值为 ．

所以实数的取值范围为． 14分

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的最值.