Question

已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.

（Ⅰ）求圆方程；

（Ⅱ）点与点关于直线对称.是否存在过点的直线，与圆相交于两点，且使三角形（为坐标原点），若存在求出直线的方程，若不存在用计算过程说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求得过圆心与切点的直线，然后与直线联立可求得圆心，再利用两点间的距离公式可求得半径，进而求得圆的方程；（Ⅱ）首先根据对称性求得的坐标，然后分直线的斜率是否存在两种情况求解，求解过程中注意利用点到直线的距离公式．

试题解析：（Ⅰ）过切点且与垂直的直线为，即.

与直线联立可求圆心为，

所以半径，

所以所求圆的方程为.

（Ⅱ）设，∵点与点关于直线对称，

∴．

注意：若没证明，直接得出结果，不扣分.

1.当斜率不存在时，此时直线方程为，原点到直线的距离为，

同时令代人圆方程得，∴，

∴满足题意，此时方程为．

2.当斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，

设的中点为，连接，则必有，

在中，，所以，

而原点到直线的距离为，所以，

整理，得，不存在这样的实数，

综上所述直线的方程为．

考点：1.直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离