Question

已知直三棱柱中，，是中点，是中点．

（1）求三棱柱的体积；

（2）求证：；

（3）求证：∥面．

Answer

（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.

试题解析：（1） 3分

（2）∵，∴为等腰三角形

∵为中点，∴ -4分

∵为直棱柱，∴面面 5分

∵面面，面

∴面 6分

∴ 7分

（3）取中点，连结， 8分

∵分别为的中点

∴∥，∥， 9分

∴面∥面 11分

面

∴∥面 12分.

考点：1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.