Question

已知定义域为的函数是奇函数.

（Ⅰ）求值；

（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

（Ⅲ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）=1.（Ⅱ）f(x)在R上为减函数..（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据奇函数的定义域为R可求出的值.（Ⅱ）已知函数式化简后计算会简单些，通过单调性的定义证明函数在R上是递减的.（Ⅲ）通过第二步的单调性可得两个变量要相等，求出b的范围.本题包含了函数的奇偶性的知识，单调性的知识，同时对单调性做了一个应用.综合性较强难度不算大.第三步的范围有一定的难度，最后转化为根的存在性所以b应该大于或等于的最小值，这个解题思想要理解把握.

试题解析：（Ⅰ）因为f（x）的定义域为R且为奇函数，所以f(0)=0,解得=1，经检验符合.

（Ⅱ），f(x)在R上为减函数下：设在R上为减函数. .所以f(x)在R上为减函数.

（Ⅲ）因为F（x）=0,所以，有解.所以b=

考点：1.函数的奇偶性.2.函数单调性.3.函数的单调性的应用.4.最值的求法.