Question

已知:如图，等腰直角三角形的直角边，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.

（1）求证：、、、四点共面；

（2）求证：平面平面；

（3）求异面直线与所成的角.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）要证四点共面，只需找到一个平面，这四个点都在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件即可；（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可.

试题解析：(1)由条件有为的中位线，为梯形的中位线

∥，∥

四点共面 3分

（2）证明:由等腰直角三角形有，

又，面 又∥

平面，平面

平面平面 6分

(3)由条件知

延长到，使，连结 8分

则，故为平行四边形 10分

，又

为异面直线BE与QM所成的角（或的补角） 11分

，且三线两两互相垂直

∴由勾股定理得 12分

ACR为正三角形，＝，异面直线与所成的角大小为 13分.

考点：1.平面的基本性质；2.平面与平面垂直的判定；3.异面直线及其所成的角.